SEMANA DEL 6 DE JUNIO AL 10 DE JUNIO DEL 2011
PROBLEMA 1
Observa el cubo hueco de la figura. Este cubo se construyó así: se construyó el cubo 5x5x5 con cubos unitarios (cubos de lado 1 cm) y luego se quitaron del centro de cada cara 3x3 cubos y cubos del interior de tal forma de poder ver a través del cubo por todas sus caras. ¿Cuántos cubos unitarios se emplearon al principio y cuántos cubos se quitaron?
Dibuja un prisma rectangular (paralelepípedo) que puedes formar con los cubos unitarios que se quitaron. Expresa las dimensiones de este prisma.
Solución: El cubo de la figura estaba formado por 125 cúbitos (5x5x5), y se quitaron 27 cúbitos que formaban el cubo central (3x3x3), y seis prismas cuadrados de 3x3 cúbitos; entonces, en total se retiraron: (54 + 27) 81 cúbitos y quedaron (125-81), 44 cúbitos.
(b) Con los cúbitos que se quitaron se puede formar un paralelépipedo de 3x3x9 que es la única descomposición posible de 81 en tres factores.
PROBLEMA 2 En un dado normal, la suma de los puntos en las caras opuestas es 7. El dado de la figura se va volteando sobre sus caras a lo largo de la franja gris. Si lo volteamos 2003 veces, ¿cuál cara del dado queda en su parte superior?
Solución: Al voltear el dado se obtiene la secuencia: 2 , 4 , 5 , 3 , 2 ,.... formada por los números que aparecen en la cara superior. El número que ocupa el lugar 2000 (múltiplos de 4) es el tres; entonces el número que debe aparecer en el lugar 2003 es el 5.
PROBLEMA 3
Calcula el área del cuadrilátero construido en el geoplano de la derecha. Explica cómo obtienes las respuestas.
Solución: El área buscada es 5,5.
PROBLEMA 4
En un sótano hay 21 barriles: 7 de ellos están llenos de un líquido, 7 vacíos y 7 están medio lleno del mismo líquido. Se quiere dividir los barriles en tres grupos de tal forma que cada grupo tenga el mismo número de barriles y la misma cantidad de líquido, sin echar el líquido de un barril a otro. ¿Cómo se puede realizar esa separación?
PROBLEMA 4
En un sótano hay 21 barriles: 7 de ellos están llenos de un líquido, 7 vacíos y 7 están medio lleno del mismo líquido. Se quiere dividir los barriles en tres grupos de tal forma que cada grupo tenga el mismo número de barriles y la misma cantidad de líquido, sin echar el líquido de un barril a otro. ¿Cómo se puede realizar esa separación?
Profesor: Luis Mancilla Pérez.
Problemas de las Olimpiada Canguro Matemático
