UN TRUCO CON CARTAS

TEOREMA DE PITAGORAS

MULTIPLICACION LINEAL

HOMERO Y PITAGORAS

En la película El Mago de Oz, filmada en 1939, cuando El Espantapájaros recibe su cerebro quiere demostrar su inteligencia recitando en voz alta el enunciado del Teorema de Pitágoras. Pero se equivoca.
Al igual que en la escena de la película de 1939 El Mago de Oz en la que el espantapájaros recibe su "cerebro", una escena de introducción en un episodio de Los Simpsons Homero encuentra un par de anteojos en un baño público, y dándose aires de genio recita el enunciado del teorema de Pitágoras del mismo modo que El Espantapájaros, aunque Homero recibe una respuesta:
Homero: "La suma de las raíces cuadradas de cualquiera de los dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del otro lado. ”
Hombre en el cuarto de baño: "Eso es un triángulo rectángulo, idiota! ” "
Homero: "oh! ”
ACTIVIDADES
1. ¿Cuál es el verdadero enunciado del Teorema de Pitágoras que Homero y el espantapájaros tratan de recitar? Identificar el error o errores en su versión de este conocido teorema. ¿Es verdadero para todos los triángulos o solo para algunos? En caso afirmativo, ¿cuáles?

2. ¿Es suficiente la corrección del hombre en el establo? Dar un completo y correcto enunciado de lo que Homero y el espantapájaros trataron de decir. Primero utilizando sólo palabras, y luego usando notación matemática.

3. Pensar de otra fórmula matemática para el Teorema de Pitágoras, dar un enunciado completo de el resultado matemático expresado por la fórmula. Escriba primero utilizando sólo palabras, y a continuación utilizando notación matemática.

The Science Behind The Simpsons

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CONOS PARA OCTAVO

1.- Calcular el volumen y la superficie total del siguiente cuerpo geometrico:

2.- Si la medida del ángulo del sector circular es 210° y la medida de la generatriz es 20cm. Determina:

(a) El raio basal del cono.

(b) Su superficie lateral.

(c) Su volumen

3.- Si la altura de un cono es 12cm y la medida del radio basal es 5cm, determinar:

(a) La medida del ángulo del sector circular.

(b) El Volumen

(c) La superficie total del cono.

4.- Construye un cono de altura 12cm cuya generatriz mida 15cm.

Calcular su volumen, superficie basal y su superficie lateral

PROBLEMA DEL ACUARIO

En el siguiente prisma rectangular se ha sumergido una piedra. Al hacerlo el agua sube su nivel 1,3cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? Justifica tu respuesta.

2.- BARCO EN EL ACUARIO

Un niño pequeño llamado Arquimides está jugando con un barco de plástico en el acuario de la figura anterior. Lo ha cargado con tuercas y tornillos. Si deja caer toda la carga al agua, de manera que el barco flote vacío, ¿subirá o bajará el nivel del agua en el acuario?

PROBLEMA DE VOLUMEN DE UNA CAJA OCTAVO

Se tiene un rectángulo de latón de 24cm por 18cm, y se quiere hacer una caja sin tapa cortando cudrados en las esquinas y doblando los lados. ¿Qué tamaño deben tener los cuadrados que se corten en las esquinas de modo que el volumen de la caja sea lo más grande posible?

Para encontrar la solución completar una tabla de valores similar a la siguiente:
Caja terminada

PROBLEMAS DE APLICACION

1.- Si r = 4cm. Calcular el volumen de la siguiente figura:
2.- La siguiente lata de conserva tiene un diámetro de 8cm y una altura de 13cm.
¿Cuál es el área total de sus bases?
¿Cuál es el área de la etiqueta de papel que cubre la lata?
¿Cuál es aproximadamente el volumen de la lata?

3.- Si r = 2cm. Calcular el volumen de la figura:

4.- La figura está al revés, por un error del enano diagramador, si r = 5cm y h = 10cm.

¿Cuál es la razón entre el volumen del cono y el volumen del cilindro?

ESFERAS

OBSERVACIÓN.

Por un problema de edición los problemas no están ordenados desde los más difícil a los más fáciles. situación no muy pedagógicamente correcta:

1.- Si r = 4cm. ¿Cuál cuerpo geométrico tiene mayor volumen?

2.- El radio de la esfera es 6cm. Calcular su volumen:

3.- La esfera es tangente interiormente a un cilindro de diámetro 8cm. Calcular el volumen del espacio entre el cilindro y la esfera.

4.- Calcular el 50% del volumen de una esfera de radio 2cm.

MAS CONOS

1.- Calcular el volumen del espacio limitado entre el cono y el prisma, según las medidas indicadas:

2.- En una salitrera almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimensiones: 40m de radio y 10m de altura. Si el salitre debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 metros cúbicos, ¿cuantos viajes debe realizar el camión?
3.- Calcular el volumen de los conos representados en las siguientes figuras:

CONOS

1.- Calcular el volumen del cono de la figura:
2.- Calcular el volumen del cono de la figura cuyo radio mide 3cm, y la altura es el triple del radio.

3.- Si el radio del circulo basal es 3cm. Calcular el volumen del siguiente cono:

4.- Calcular el 48% del volumen de un cono de radio 6cm y altura 10cm.

PIRAMIDE

1.- Calcular el volumen de las siguientes pirámides:

2.- Calcular el volumen de la pirámide de la figura si la base es un cuadrado de lado 5cm y la altura mide 12cm.

CILINDROS

1.- Calcular el volumen del invernadero que se muestra en la siguiente figura:
2.- Calcular el volumen de un galpón con techo semicilindrico que se muestra en la siguiente figura:

3.- La figura representa un cilindro oblicuo de radio 6cm y altura 15cm.

4.- La figura representa un cilindro cuya altura es el triple del radio. Si el radio mide 8cm. Calcular el volumen del cilindro.

5.- La figura representa un cilindro de radio 4cm y altura 12cm. Calcular el 75% de su volumen.

OBSERVACIÓN:

PARA RECORDAR

El valor de el número pi a utilizar será 3,14.

Un porcentaje es una fracción de denominador cien. Por lo tanto 23% = 0,23; 47% = 0,47 y así sucesivamente. Por lo tanto el calculo de % es una multiplicación de decimales.

PRISMAS

1.- Calcular el 23% del volumen de un paralelepipedo de largo 15cm, ancho 5cm y alto 10cm.
2.- La siguiente figura representa un prisma cuya base es un trapecio que tiene como base 12cm y 8cm; y altura 6cm. La altura del prisma es 15cm. Calcular el volumen

3.- Una empresa de reciclaje tiene un deposito lleno de aceite. Sus medidas son: 25m de largo y 14m de ancho y su profundidad varia, desde los 16m en su parte menos profunda a los 20m en su parte más profunda. ¿Cuál es el volumen del deposito?

4.- El prisma recto rectángular está formado por rectangulos congruentes (iguales) y cuadrados congruentes. Si el área de un rectángulo es 48 y el área de un cuadrado es 16. ¿Cuál es el volumen del paralelepipedo?

5.- La figura representa un hexaedro. Si e = 7cm. Calcular el volumen.

6.- La figura representa una caja de longitudes 18cm, 4cm y 3cm. Se ha llenado de arena hasta el 86% de su capacidad. ¿Cuánto falta llenarla?

PENSAR ES EL PROBLEMA

PROBLEMA 1.

El señor Martínez conducía por la carretera con su hija sentado en el asiento delantero. El camino estaba helado. Al girar en una curva el coche resbaló y se estrelló contra un poste de la luz. El señor Martínez resulto ileso, pero a la niña se le quebraron varias costillas. Una ambulancia lo trasladó al hospital mas cercano. Entró en camilla a la sala de operaciones. El padre se quedó en la sala de espera. Cuando todo estuvo listo, quien iba a operarla miró a la paciernte y dijo: "lo siento, no puedo operarla; porque ella es mi hija" ¿Cómo puede ser?

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PROBLEMA 2.

Martín tiene una increíble capacidad para escuchar la radio y mantener una conversación mientras lee un libro. Una noche Martín estaba leyendo un libro cuando de repente se fue la luz quedándose toda la casa en la mas completa oscuridad. Sin embargo, siguió leyendo, incluso teniendo en cuenta que la habitación está a oscuras. ¿Cómo podía continuar leyendo?

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PROBLEMA 3.

La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial.Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel. Uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme; otro, un civil francés, enrolado en la Resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad. Ninguno conocía a los demás.Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron, y todo quedó en profunda oscuridad. Se oyó el chasquido de un beso, seguido por el restallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces. El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo.La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes de hoy saben hacerse respetar”.La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”.El alemán pensó: “¿Pero qué ha pasado?, ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido.¿ Sabrías deducirlo?

PROBLEMAS DE PENSAMIENTO LATERAL

1. Un hombre vive en un 10° piso de un edificio, y todas las mañanas, se toma el ascensor, va hasta planta baja y se va a trabajar. Pero cuando regresa, se toma el ascensor, va hasta el 7° piso, se baja, y sube los tres pisos restantes por escalera. Él odia caminar, entonces, ¿Por qué lo hace?
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2. Un hombre entra a un bar, y le pide al barman un vaso de agua, este saca un revolver verdadero de abajo de la barra, y le apunta con él. El hombre dice: "gracias" y se va. ¿Qué ocurrió?
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3. Un hombre se muere y va al cielo. Allí encuentra a todas las personas que murieron, desnudas, y con la apariencia que tenían a los 21 años. Se pronto mira a una pareja de jóvenes e inmediatamente se da cuenta que son Adán y Eva. ¿Cómo se dió cuenta?
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4. Una niña vive en su casa con sus padres. Estos siempre le dijeron que por ninguna razón abra la puerta del sótano, para que no vea algo que no tenía que ver. Cierto día, los padres salen y se olvidan de asegurar la puerta del sótano con llave. La niña, no pudiendo resistir la tentación, aprovecha la circunstancia, y abre la puerta del sótano. Lo que ve, la deja estupefacta, no puede creer el espectáculo que se cierne ante sus ojos. Un rato más tarde la policía arresta a sus padres y ponen a la niña en un lugar seguro. ¿Qué vio la niña?
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5. Un camionero circula por una calle en contra del tránsito y a gran velocidad, un carabinero lo ve, pero no hace absolutamente nada al respecto. ¿Por qué?
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6. Dos chicas están limpiando una azotea. Cuando terminan, la que tiene la cara limpia se la lava y la que la tiene sucia, no. ¿Por qué?
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7. Un sordomudo entra en una tienda de artículos de escritorio.
Para hacer entender al empleado que necesita un sacapuntas se coloca un dedo en la oreja izquierda y rota la otra mano alrededor de la oreja derecha. El siguiente cliente es un ciego, ¿cómo hace para hacer entender al empleado que desea unas tijeras?
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8. En una fiesta familiar dos hombres se encuentran: "Padre", dijo el primero; "Abuelo", replicó el segundo. Ninguno de los dos hombres se equivocaba.
¿Cómo puede ser?
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9. Nos presentan dos esferas que tienen el mismo volumen, pero una de ellas pesa diez veces mas que la otra.
Si solo puedes coger una, ¿ cómo sabrías cuál es la más pesada?
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10. Cual es la siguiente letra en la serie: C, E, L, S, L, E, L, ?
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11. Hay un gran granero de madera. El granero esta completamente vacío excepto por un hombre muerto que cuelga del medio de la vertiente central del tejado. La cuerda alrededor de su cuello tiene 3 metros de largo y sus pies están a un metro del suelo. La pared más cercana esta a 9 metros de distancia del hombre. No es posible escalar por las paredes hasta las aguas del tejado o ir por la cornisa. El hombre se ahorcó solo. ¿Cómo lo hizo?
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12. Un hombre se encuentra en una isla de aproximadamente un kilometro de largo y cien metros de ancho. El pasto y los arbustos están resecos debido a una larga sequía. De repente, un voraz y gigantesco incendio comienza en un extremo de la isla, empujado por un fortísimo viento que sopla en dirección al hombre. El hombre no puede arrojarse al mar porque esta lleno de tiburones. No hay playas, solo acantilados.
¿Que puede hacer para no ser quemado por el fuego?
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13. Una mujer va por la calle y lee el cartel de un establecimiento: "Té a la menta especial. ¡Delicioso!". Nuestra mujer pide uno y, justo cuando va a acercárselo a los labios, pide otro, ya que tiene un mosquito flotando. Al probar el nuevo té sabe que es el mismo de antes. ¿Como es posible? --------------------------------------------------------------------------------

14. El señor Martínez conducía por la carretera con su hija sentado en el asiento delantero. El camino estaba helado. Al girar en una curva el coche resbaló y se estrelló contra un poste de la luz. El señor Martínez resulto ileso, pero a la niña se le quebraron varias costillas. Una ambulancia lo trasladó al hospital mas cercano. Entró en camilla a la sala de operaciones. El padre se quedó en la sala de espera. Cuando todo estuvo listo, quien iba a operarla miró a la paciernte y dijo: "lo siento, no puedo operarla; porque ella es mi hija" ¿Cómo puede ser?
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15. Martín tiene una increíble capacidad para escuchar la radio y mantener una conversación mientras lee un libro. Una noche Martín estaba leyendo un libro cuando de repente se fue la luz quedándose toda la casa en la mas completa oscuridad. Sin embargo, siguió leyendo, incluso teniendo en cuenta que la habitación está a oscuras. ¿Cómo podía continuar leyendo?
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16. La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial.
Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel. Uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme; otro, un civil francés, enrolado en la Resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad. Ninguno conocía a los demás.
Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron, y todo quedó en profunda oscuridad. Se oyó el chasquido de un beso, seguido por el restallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces. El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo.
La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes de hoy saben hacerse respetar”.
La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”.
El alemán pensó: “¿Pero qué ha pasado?, ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”
Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido.
¿ Sabrías deducirlo?

ECUACIONES CON FRACCIONES

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:

DIVISION DE FRACCIONES

EL PROBLEMA DE CRUZAR UN PUENTE

Grupo de apoderados y alumnos de octavo año en su paseo de fin de año.

En un paseo de curso, durante una noche muy oscura hay cuatro niños y niñas de este lado del río. Los cuatro deben cruzar al otro lado a través de un frágil puente que como máximo puede soportar dos niños al mismo tiempo. Tienen una sola linterna. Esto obliga a que si dos cruzan al mismo tiempo, deban hacerlo juntos, a la velocidad del más lento, y uno de ellos debe regresar a dejar la linterna a los que se quedaron.

Cada uno tarda una velocidad diferente en cruzar: Alberto, veloz como el pensamiento, tarda un minuto. Bernardo, rápido como el viento, tarda dos minutos. Carolina, entumecida por la fría noche de Chiloé, tarda cinco minutos. Daniela, que insiste en llevar su mascota tortuga, tarda diez minutos.

En que orden deben los cuatro cruzar el puente, para tardar en total exactamente 17 minutos.